Корни
n-й степени
и их свойства.
Понятные объяснения.
Наглядные примеры.
Для a ≥ 0 и x ≥ 0; n ∈ ℕ, n ≥ 2
Корень возвращает нас
от степени к числу
Корень n-й степени из a —
число, n-я степень которого
равна a.
n ∈ ℕ, n ≥ 2
При a ≥ 0 выбираем
неотрицательное значение.
корня
выражение
корня
Ищем число, которое в четвёртой степени даёт 81.
Чётность n определяет,
из каких чисел извлекают корень
Чётный n
2, 4, 6…Под корнем: a ≥ 0
Значение корня: ≥ 0
Проверка: 2⁴ = 16
Нечётный n
3, 5, 7…Под корнем: любое a ∈ ℝ
Знак корня совпадает со знаком a.
Проверка: (−3)³ = −27
√−9 не существует в ℝ.
Квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
Чётный корень из aⁿ
возвращает модуль числа
Чётный n
√(−5)² = |−5| = 5
Нечётный n
3√(−2)³ = −2
√25 = 5, но уравнение x² = 25 имеет два решения: x = ±5.
Корень произведения равен
произведению корней
Чётный n: a ≥ 0, b ≥ 0. Нечётный n: любые a, b ∈ ℝ.
Разложили 72 = 36 · 2. Извлекли корень из полного квадрата: √36 = 6.
Корень частного равен
частному корней
Чётный n: a ≥ 0, b > 0. Нечётный n: a ∈ ℝ, b ≠ 0.
Числитель: 4³ = 64. Знаменатель: 5³ = 125.
Два вложенных корня
можно объединить в один
Для a ≥ 0; m, n ∈ ℕ, m ≥ 2, n ≥ 2.
Проверяем: 2⁶ = 64. Последовательно: ³√64 = 4, затем √4 = 2.
Полную степень выносят
из-под знака корня
Чётный n, b ≥ 0n√anb = |a|n√b
Нечётный n, a, b ∈ ℝn√anb = an√b
27 = 3³ — полная третья степень.
12x² = 4 · x² · 3; √x² = |x|.
Одинаковые радикалы
позволяют сложить коэффициенты
Выделим полные квадраты
50 = 25 · 2; 8 = 4 · 2; 18 = 9 · 2.
Вынесем множители
5√2 + 2√2 − 3√2
Сложим коэффициенты
(5 + 2 − 3)√2 = 4√2
Проверка условий
защищает от ошибок
Не теряй модуль
√a² = |a|. Например, √(−5)² = 5, а не −5.
Не разделяй корень суммы
√(9 + 16) = √25 = 5, а не 3 + 4 = 7.
Отличай корень от решений уравнения
√25 = 5. Уравнение x² = 25: x = 5 или x = −5.